若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为

Question

若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为

Answer 1

我晕,a^2+b^2明显是个非负数,怎么就是－7了呢!
由a+b+3=ab可得,
(a+b)^2 = (ab-3)^2
于是a^2+b^2+2ab= a^2*b^2-6ab+9
又由于a^2+b^2 >= 2ab
所以a^2*b^2-8ab+9 >= 2ab
所以(ab-9)(ab-1) >= 0
所以ab >= 9 或是 ab 3(a,b均为正实数）
所以ab >= 9
所以a^2 + b^2 >= 2ab >= 18
而当a=b=3时,可以满足上述条件,正好可以得到最小值18
因此,a^2 + b^2的最小值为18