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在△ABC中，H为垂心，G为重心，O为外心，求证：HG＝2GO．
题目详情
在△ABC中，H为垂心，G为重心，O为外心，求证：
＝2
．
| HG |
| GO |
▼优质解答
答案和解析
如图：作直径BD，连接DA、DC，
由图得，
=-
，
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
=
又∵
=
-
=
+
，
∴
=
+
=
+
=
+
+
，
∵G为△ABC的重心
∴
+
+
＝(
+
)+(
+
)+(
+
)=3
+
+
+
=3
+
=
即
=3
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：
＝2
．
如图：作直径BD，连接DA、DC，由图得，
| OB |
| OD |
∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB，AH⊥BC，
∵BD为直径，∴DA⊥AB，DC⊥BC
∴CH∥AD，AH∥CD，故四边形AHCD是平行四边形，∴
| AH |
| DC |
又∵
| DC |
| OC |
| OD |
| OC |
| OB |
∴
| OH |
| OA |
| AH |
| OA |
| DC |
| OA |
| OB |
| OC |
∵G为△ABC的重心
∴
| GA |
| GB |
| GC |
| GO |
| OA |
| GO |
| OB |
| GO |
| OC |
| GO |
| OA |
| OB |
| OC |
| GO |
| OH |
| 0 |
即
| OH |
| OG |
即O，G，H三点共线，且OH=3OG
即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．
从而得到：
| HG |
| GO |
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