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设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使OH＝OA+OB+OC．求证：（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．
题目详情
设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
（Ⅰ）点H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上．
▼优质解答
答案和解析
证明：（Ⅰ）∵O为△ABC的外心，∴|
|＝|
|＝|
|，
∵
＝
+
+
，∴
＝
−
＝
+
，
∴
•
＝(
+
)•(
−
)＝|
|2−|
|2＝0
∴
⊥
，即AH⊥BC，
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴
＝
(
+
)，
∵G为△ABC之重心，∴
＝
＝
(
+
)＝
(
+
−2
)
∵
＝
+
＝
+
(
+
−2
)＝
(
+
+
)，
∴
＝3
，∴
∥
，
∴O，G，H三点共线．
| OA |
| OB |
| OC |
∵
| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
| AH |
| OH |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| AH |
| BC |
| OB |
| OC |
| OC |
| OB |
| OC |
| OB |
∴
| AH |
| BC |
同理BH⊥AC，CH⊥AB，
∴H为△ABC的垂心；
（Ⅱ）延长AG交BC于D，则D为BC中点，∴
| AD |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
∵G为△ABC之重心，∴
| AG |
| 2 |
| 3 |
| AD |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OA |
∵
| OG |
| OA |
| AG |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OC |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OH |
| OG |
| OH |
| OG |
∴O，G，H三点共线．
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