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设△ABC的外心为O,重心为G,取点H,使OH=OA+OB+OC.求证:(Ⅰ)点H为△ABC的垂心;(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上.
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/94cad1c8a786c917a6b2b8beca3d70cf3ac75780.jpg)
OH |
OA |
OB |
OC |
(Ⅰ)点H为△ABC的垂心;
(Ⅱ)△ABC的外心O、重心G、垂心H在同一条直线上.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)∵O为△ABC的外心,∴|
|=|
|=|
|,
∵
=
+
+
,∴
=
−
=
+
,
∴
•
=(
+
)•(
−
)=|
|2−|
|2=0
∴
⊥
,即AH⊥BC,
同理BH⊥AC,CH⊥AB,
∴H为△ABC的垂心;
(Ⅱ)延长AG交BC于D,则D为BC中点,∴
=
(
+
),
∵G为△ABC之重心,∴
=
=
(
+
)=
(
+
−2
)
∵
=
+
=
+
(
+
−2
)=
(
+
+
),
∴
=3
,∴
∥
,
∴O,G,H三点共线.
OA |
OB |
OC |
∵
OH |
OA |
OB |
OC |
AH |
OH |
OA |
OB |
OC |
∴
AH |
BC |
OB |
OC |
OC |
OB |
OC |
OB |
∴
AH |
BC |
同理BH⊥AC,CH⊥AB,
∴H为△ABC的垂心;
(Ⅱ)延长AG交BC于D,则D为BC中点,∴
AD |
1 |
2 |
AB |
AC |
∵G为△ABC之重心,∴
AG |
2 |
3 |
AD |
1 |
3 |
AB |
AC |
1 |
3 |
OB |
OC |
OA |
∵
OG |
OA |
AG |
OA |
1 |
3 |
OB |
OC |
OA |
1 |
3 |
OA |
OB |
OC |
∴
OH |
OG |
OH |
OG |
∴O,G,H三点共线.
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