已知正数列{an}的前n项和为Sn,有a1^3+a2^3+a3^3+.+an^3=Sn^2.（1）求an（2）若bn=2^n+(-1)^n×m×an为递增数列，求m的范围。

Question

已知正数列{an}的前n项和为Sn,有a1^3+a2^3+a3^3+.+an^3=Sn^2.（1）求an
（2）若bn=2^n+(-1)^n×m×an为递增数列，求m的范围。

Answer 1

由a1^3+a2^3+a3^3+.+an^3=Sn^2
得a1^3+a2^3+a3^3+.+an^3+an+1^3=Sn+1^2
两式相减得：
an+1^3=Sn+1^2-Sn^2
=(Sn+1 +Sn)(Sn+1 -Sn)
=an+1(Sn+1 +Sn)
则由an+1>0,化为
an+1^2=Sn+1 +Sn
则当n>1时,
an^2=Sn +Sn-1
上两式相减得：
an+1^2 -an^2=Sn+1 -Sn-1=an+1 +an
则简化为an+1 -an=1
则an为公差为1的等差数列
由a1^3=S1^2=a1^2,且a1>0,得a1=1
则an=n
当bn=2^n+(-1)^n×m×an为递增数列,
则bn=2^n+(-1)^n×m×an
=2^n+(-1)^n*mn
则必有bn+1-bn
= 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m(n+1)-2^n-(-1)^n*mn
=2^n+(-1)^(n+1)*m(1+2n)
当n为奇数时,bn+1-bn=2^n+m(1+2n)>0恒成立；
当n为偶数时,bn+1-bn=2^n-m(1+2n)〉0要成立,则m