四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AB垂直AD,AC垂直CD,∠ABC=60度,PA=AC=AB,E为PC中点(1)求证CD垂直AE(2)求证PD垂直平面ABE

Question

四棱锥P-ABCD中,PA垂直底面ABCD,AB垂直AD,AC垂直CD,∠ABC=60度,PA=AC=AB,E为PC中点
(1)求证CD垂直AE
(2)求证PD垂直平面ABE

Answer 1

1.在平面PAC中,我们已经知道直线AC垂直于CD,再由于PA垂直底面ABCD,所以PA垂直于CD,CD垂直于两条不平行的边,所以CD垂直于平面ABCD,所以CD垂直于AE
2.在三角形PAC中PA=AC,E是底边中点,所以AE垂直于PC.上题证明了AE垂直于CD,所以AE垂直于平面PCD,所以AE垂直于PD.
再看平面PAD,由于AB垂直于AD,AB垂直于AD,所以AB垂直于平面PAD,所以AB垂直于PD.
以上两步得出的结论是：AE垂直于PD,AB垂直于PD,在平面ABE中,显然PD垂直于平面ABE