已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,B1C1的中点,AC交BD=P,A1C1交EF=Q,求证：（1）D,B,F,E四点共线（2）若A1C交平面DBFE于R,则P,Q,R三点共线

Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,B1C1的中点,AC交BD=P,A1C1交EF=Q,
求证：
（1）D,B,F,E四点共线
（2）若A1C交平面DBFE于R,则P,Q,R三点共线

Answer 1

第一个问题应该是证明共面,共线没法证明.
证：
（1）
∵E、F分别是C1D1、B1C1的中点
∴EF是△B1C1D1的中位线
∴EF∥D1B1
又∵ABCD－A1B1C1D1是立方体
∴BB1∥DD1、BB1＝DD1
∴BB1D1D是平行四边形,
∴DB∥DB1,结合证得的EF∥D1B1
得：EF∥DB
∴D、B、F、E共面
（2）
∵AC∩BD=P、A1C1∩EF=Q
∴EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线
∵A1C交平面DBFE于R点
∴R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上
∴P、Q、R三点共线
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希望可以帮到你!
如对回答满意,
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