如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1,-4）,与y轴交于点C（0,-3）,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线

Question

如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1,-4）,与y轴交于点C（0,-3）,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形； （3）若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得 ,-b/2=-1,4c-b²／4=-4 b=2,c=﹣3, 则解析式为：y=x²+2x﹣3；
（2）∵y=x²+2x﹣3, ∴x=1或x=﹣3, 由题意点A（﹣3,0）, ∴AC= √9＋9＝3√2,CD=√1＋1＝√2 ,AD= √4＋16＝2√5, 由AC²+CD²=AD², 所以△ACD为直角三角形；
3,若AB为一边,则EF平行且等于AB等于4,则E、F的纵坐标相等,设F(X1,Y1),则X1=-5 Y1=12或X1=3 Y1=12,
若AB为对角线,则EF也为对角线,因E在对称轴上,根据平行四边形的性质,对角线平分,所以只有顶点D符合.
因此F点为（-5,12）或（3,12）或（-1,-4）