若点P是曲线Y=x方-lnx上任意一点,求点P到直线Y=X-2的最小距离

Question

若点P是曲线Y=x方-lnx上任意一点,求点P到直线Y=X-2的最小距离

Answer 1

若点P是曲线Y=x²-lnx上任意一点,求点P到直线Y=X-2的最小距离
直线y=x-2的斜率k=1,因此要在曲线y=x²-lnx上找出斜率为1的点,那么曲线上过这一点的切线平行于该直线,因此其到直线的距离就是最小的.
令y′=2x-(1/x)=1,于是得2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0,故得x₁=-1/2(舍去,因为不在函数的定义域内),x₂=1；相应地,y₂=1,点(1,1）到直线x-y-2=0的距离d=︱1-1-2︱/√2=2/√2=√2就是点P
到直线y=x-2的最小距离.