设z1 z2 z3均为非零复数,且z1/z2=z2/z3=z3/z1,求（z1+z2-z3）/(z1-z2+z3)的值

Question

设z1 z2 z3均为非零复数,且z1/z2=z2/z3=z3/z1,求（z1+z2-z3）/(z1-z2+z3)的值

Answer 1

令z1/z2=z2/z3=z3/z1=t
可得z1=t*z2
z2=t*z3 z1=t^2*z3
z3=t*z1
z1=t^3*z1 t^3=1 t=1 t=-1/2±√3/2i
(1) t=1 z1=z2=z3
（z1+z2-z3）/(z1-z2+z3)=z1/z1=1
(2) t=-1/2+√3/2i
z1=t*z2
z2=t*z3 z1=t^2*z3
z1+z2-z3=z3(t^2+t-1)=-1/2-√3/2i-1/2+√3/2i-1=-2
z1-z2+z3=z3(t^2-t+1)=-1/2-√3/2i+1/2-√3/2i+1=1-√3*i
（z1+z2-z3）/(z1-z2+z3)
= -2/(1-√3*i)
=-1/2-√3/2i
(3) t= -1/2-√3/2i
z1+z2-z3=z3(t^2+t-1)=-1/2+√3/2i-1/2-√3/2i-1=-2
z1-z2+z3=z3(t^2-t+1)=-1/2+√3/2i+1/2+√3/2i+1=1+√3*i
（z1+z2-z3）/(z1-z2+z3)
= -2/(1+√3*i)
=-1/2+√3/2i