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已知P,Q是椭圆3x^2+5y^2=1上满足角POQ=90度的两动点,则|op|^2+|OQ|^2=?
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已知P,Q是椭圆3x^2+5y^2=1上满足角POQ=90度的两动点,则|op|^2+|OQ|^2=?
▼优质解答
答案和解析
设直线PQ y=kx+m 带入椭圆方程
(3+5k^2)x^2 + 10kxm+5m^2-1 =0.
∠POQ=90 所以 x1x2+y1y2 = (1+k^2)x1x2 + km(x1+x2) +m^2 = 0
由韦达定理:
(1+k^2)(5m^2-1)-10(km)^2+m^2(3+5k^2) = 0
5m^2-1-k^2+3m^2=0 即 8m^2 = k^2 +1
应该是1/|OP|^2+1/|OQ|^2 的值把,不然算出来是变量- -
设O点到直线PQ距离为d
d^2 = m^2/(1+k62) = 1/8
1/|OP|^2+1/|OQ|^2 = (|OQ|^2+|OP|^2)/(|OQ|^2|OP|^2) = |QP|^2/(|OQ|^2|OP|^2) =1/ d^2=8
(3+5k^2)x^2 + 10kxm+5m^2-1 =0.
∠POQ=90 所以 x1x2+y1y2 = (1+k^2)x1x2 + km(x1+x2) +m^2 = 0
由韦达定理:
(1+k^2)(5m^2-1)-10(km)^2+m^2(3+5k^2) = 0
5m^2-1-k^2+3m^2=0 即 8m^2 = k^2 +1
应该是1/|OP|^2+1/|OQ|^2 的值把,不然算出来是变量- -
设O点到直线PQ距离为d
d^2 = m^2/(1+k62) = 1/8
1/|OP|^2+1/|OQ|^2 = (|OQ|^2+|OP|^2)/(|OQ|^2|OP|^2) = |QP|^2/(|OQ|^2|OP|^2) =1/ d^2=8
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