如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP＝mAB+nAF（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A．（1，2]B．[5，

Question

如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量

AP

＝m

AB

+n

AF

（m，n为实数），则m+n的取值范围是（　　）

A．（1，2]
B．[5，6]
C．[2，5]
D．[3，5]

Answer 1

如图所示，
①设点O为正六边形的中心，则

AO

＝

AB

+

AF

．
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，
则

AP

＝

AO

+

OP

，
∵

OP

与

FB

共线，∴存在实数t，使得

OP

＝t

FB

．
∴

AP

=

AO

+t

FB

=

AB

+

AF

+t(

AB

−

AF

)=(1+t)

AB

+(1−t)

AF

，
此时m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与⊙Q的交点P时．

AP

＝(5)/(2)

AO

=(5)/(2)(

AB

+

AF

)=(5)/(2)

AB

+(5)/(2)

AF

，
此时m+n=(5)/(2)+(5)/(2)=5取得最大值．
因此m+n的取值范围是[2，5]．
故选：C．