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如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量AP＝mAB+nAF（m，n为实数），则m+n的取值范围是（）A．（1，2]B．[5，
题目详情
如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量| AP |
| AB |
| AF |
A．（1，2]
B．[5，6]
C．[2，5]
D．[3，5]
▼优质解答
答案和解析
如图所示，
①设点O为正六边形的中心，则
＝
+
．
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，
则
＝
+
，
∵
与
共线，∴存在实数t，使得
＝t
．
∴
=
+t
=
+
+t(
−
)=(1+t)
+(1−t)
，
此时m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与⊙Q的交点P时．
＝
=
(
+
)=
+
，
此时m+n=
+
=5取得最大值．
因此m+n的取值范围是[2，5]．
故选：C．
①设点O为正六边形的中心，则
| AO |
| AB |
| AF |
当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点．连接OP，
则
| AP |
| AO |
| OP |
∵
| OP |
| FB |
| OP |
| FB |
∴
| AP |
| AO |
| FB |
| AB |
| AF |
| AB |
| AF |
| AB |
| AF |
此时m+n=1+t+1-t=2，取得最小值．
②当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与⊙Q的交点P时．
| AP |
| 5 |
| 2 |
| AO |
| 5 |
| 2 |
| AB |
| AF |
| 5 |
| 2 |
| AB |
| 5 |
| 2 |
| AF |
此时m+n=
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
因此m+n的取值范围是[2，5]．
故选：C．
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