如图在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=5cm,沿过BD的中点O的直线EF对折,使B与D点重合,求证BEDF为菱形并求折痕EF的长

Question

如图在矩形ABCD中,AB=8cm,AD=5cm,沿过BD的中点O的直线EF对折,使B与D点重合,求证BEDF为菱形并求折痕EF的长

Answer 1

(1)证明：因为四边形ABCD是矩形,沿过BD的中点O的直线EF对折,使点B 与点D重合
所以BE=DE
BF=DF
OB=OD
AB平行DC
所以角OBE=角ODF
角OEB=角OFD
所以三角形OBE和三角形ODF全等（AAS)
所以BE=DF
所以BE=DE=DF=BF
所以四边形BEDF是菱形
（2）过点E作EM垂直DC于M
所以角EMF=90度
所以三角形EMF是直角三角形
所以由勾股定理得：
EF^2=EM^2+MF^2
因为四边形ABCD是矩形
所以AB平行DC
角A=角ABM=90度
所以三角形DAE是直角三角形
由勾股定理得：
BE^2=AD^2+AE^2
因为AB=AE+BE=8
BE=DE=DF
AD=5
所以DF=BE=DE=89/16
AE=39/16
角ABC=角EMF=90度
所以AD平行EM
因为AB平行DC（已证）
所以四边形ADMF是平行四边形
所以AD=EM
AE=DM
所以DM=39/16
EM=AD=5
因为DM+MF=DF
所以MF=(89/16)-(39/16)=25/8
所以EF=5倍根号39/8