求1/（a^2-x^2）^2.5的不定积分

Question

求1/（a^2-x^2）^2.5的不定积分

Answer 1

求不定积分∫dx/(a²-x²)^(5/2)
原式=(1/a⁵)∫dx/[1-(x/a)²]^(5/2)
令x/a=sinu,则x=asinu,dx=acosudu,代入原式得：
原式=(1/a⁵)∫acosudu/(1-sin²u)^(5/2)=(1/a⁴)∫du/cos⁴u=(1/a⁴)∫sec⁴udu=(1/a⁴)∫sec²ud(tanu)
=(1/a⁴)[sec²utanu-2∫tan²usec²udu]=(1/a⁴)[sec²utanu-2∫tan²ud(tanu)]
=(1/a⁴)[sec²utanu-(2/3)tan³u]+C=(1/a⁴)[sec²u-(2/3)tan²u]tanu+C
=(1/a⁴){a²/(a²-x²)-(2/3)[x²/(a²-x²)][x/√(a²-x²)]}+C