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求((a*x+b*x+c*x)/3)*(1/x)当x趋近于0的极限
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求((a*x+b*x+c*x)/3)*(1/x)当x趋近于0的极限
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答案和解析
先取对数
ln(a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
=[ln((a^x+b^x+c^x)/3)]/x
罗必塔,上下同时求导：
[3/(a^x+b^x+c^x)]*1/3*(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)
x趋近于0
a^x→1 b^x→1 c^x→1
则上式=1/3(lna+lnb+lnc)=ln(abc)^(1/3)
再取e^ln(abc)^(1/3)=(abc)^1/3
所以极限是(abc)^1/3
ln(a^x+b^x+c^x)/3)^(1/x)
=[ln((a^x+b^x+c^x)/3)]/x
罗必塔,上下同时求导：
[3/(a^x+b^x+c^x)]*1/3*(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)
x趋近于0
a^x→1 b^x→1 c^x→1
则上式=1/3(lna+lnb+lnc)=ln(abc)^(1/3)
再取e^ln(abc)^(1/3)=(abc)^1/3
所以极限是(abc)^1/3
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