已知An5=56Cn7，且（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求a1+2a2+3a3+…+nan的值．（Ⅲ）求S=Cn0+3Cn1+5Cn2+…+（2n-1）Cnn-1+（2n+1）Cnn的值．

Question

已知A_n⁵=56C_n⁷，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．
（Ⅲ） 求S=C_n⁰+3C_n¹+5C_n²+…+（2n-1）C_n^n-1+（2n+1）C_nⁿ的值．

Answer 1

（Ⅰ）由A5n＝56C7n得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)(n−6)7•6•5•4•3•2•1，即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），故n=15．（Ⅱ）当n=15时，由已知有：（1...