(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+………+(1+x)^n=A0+A1x+...A(n-1)x^(n-1)+Anx^n,若A(n-1)=2009则A0+A1+A2+……+A（n-1）+A（n）等于?

Question

(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+………+(1+x)^n=A0+A1x+...A(n-1)x^(n-1)+Anx^n,若A(n-1)=2009 则A0+A1+A2+……+A（n-1）+A（n）等于?

Answer 1

设(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+………+(1+x)^n=A0+A1x+...A(n-1)x^(n-1)+Anx^n
已知A(n-1)=2009,求Y=A0+A1+A2+……+A（n-1）+A（n）
令x=0得A0=n
令x=1得2+...+2^n=Y.
分析x^(n-1)的系数,由二项式定理分解左边,(只有两项有贡献,即(1+x)^(n-1)及(1+x)^n)
得到
A(n-1)=1+C(n,1),即2009=1+n,于是n=2008
下略.