已知A1,A2,A3,...,Ar线性无关,b与A1,A2,A3,...,Ar都正交,证明b,A1,A2,A3,...,Ar线性无关.

Question

已知A1,A2,A3,...,Ar线性无关,b与A1,A2,A3,...,Ar都正交,证明b,A1,A2,A3,...,Ar线性无关.

Answer 1

b应该是非零向量,否则结论不成立.
证明:设 k1a1+...+krar+kb=0
则 b^t(k1a1+...+krar+kb)=b^t0=0
所以 k1b^ta1+...+krb^tar+kb^tb=0
由于 b与a1,...,ar均正交,故 b^Tai = 0,i=1,2,r.
所以 kb^tb=0.
由已知b为非零向量,所以 k=0.
所以 k1a1+...+krar=0
再由已知a1,...,ar线性无关
所以 k1=...=kr=0.
所以 a1,...,ar,b线性无关