设x→0时，有ex（1+bx+cx2）=1+ax+o（x3）．其中o（x3）是当x→0时比高阶的无穷小量，求常数a，b，c的值．

Question

设x→0时，有e^x（1+bx+cx²）=1+ax+o（x³）．其中o（x³）是当x→0时比高阶的无穷小量，求常数a，b，c的值．

Answer 1

因为
e^x=1+x+(1)/(2)x2+(1)/(6)x3+o（x³），
所以
e^x（1+bx+cx²）=1+（1+b）x+(b+c+(1)/(2))x2+((1)/(2)b+c+(1)/(6))x3+o（x³）．
由泰勒展开式的唯一性可得，
1+b=a，
b+c+(1)/(2)=0，
(1)/(2)b+c+(1)/(6)=0，
求解可得，
a=(1)/(3)，b=-(2)/(3)，c=(1)/(6)．