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用正交变换化二次型为标准型f=2x1^2+3x2^2+2x3^2+2x1x3
题目详情
用正交变换化二次型为标准型f=2x1^2+3x2^2+2x3^2+2x1x3
▼优质解答
答案和解析
解: A=
2 0 1
0 3 0
1 0 2
|A-λE|=(3-λ)[(2-λ)^2-1]=(1-λ)(3-λ)^2
所以A的特征值为 1,3,3
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,-1)^T
(A-3E)x=0 的基础解系为 a2=(1,0,1)^T,a3=(0,1,0)^T
a1,a2,a3 已正交, 单位化得
P=
1/√2 1/√2 0
0 0 1
-1/√2 1/√2 0
则 X=PY 是正交变换
且 f = y1^2 + 3y2^2 + 3y3^2
2 0 1
0 3 0
1 0 2
|A-λE|=(3-λ)[(2-λ)^2-1]=(1-λ)(3-λ)^2
所以A的特征值为 1,3,3
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,-1)^T
(A-3E)x=0 的基础解系为 a2=(1,0,1)^T,a3=(0,1,0)^T
a1,a2,a3 已正交, 单位化得
P=
1/√2 1/√2 0
0 0 1
-1/√2 1/√2 0
则 X=PY 是正交变换
且 f = y1^2 + 3y2^2 + 3y3^2
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