已知函数f（x）=x2+4x+k2x，x∈[1，3]，若对定义域内任意实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，则正数k的取值范围是（0，33]（0，33]．

Question

已知函数f（x）=(x2+4x+k2)/(x)，x∈[1，3]，若对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，则正数k的取值范围是

（0，3√(3)]

（0，3√(3)]

．

Answer 1

f（x）=(x2+4x+k2)/(x)=x+(k2)/(x)+4．
当0＜k＜1时，函数f（x）在[1，3]上为增函数，函数的值域为[k2+5，(k2)/(3)+7]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2（k²+5）≥(k2)/(3)+7，
∴0＜k＜1；
当1≤k≤√(3)时，函数f（x）在[1，3]上的值域为[2k+4，(k2)/(3)+7]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥(k2)/(3)+7，
∴1≤k≤√(3)；
当√(3)≤k≤3时，函数f（x）在[1，3]上的值域为[2k+4，k²+5]，
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥k²+5，
∴√(3)≤k≤3；
当k＞3时，函数f（x）在[1，3]上为减函数，函数的值域为[(k2)/(3)+7，k2+5]
对定义域内任意实数x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2×((k2)/(3)+7)≥k2+5，
∴3＜k≤3√(3)．
综上，正数k的范围是：（0，3√(3)]．
故答案为：（0，3√(3)]．