已知函数f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx+a(a∈R)（1）若x∈R,求f(x)的单调增区间（2）若x∈[0,π/2]时,f(x)的最大值为4,求a的值

Question

已知函数f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx+a(a∈R) （1）若x∈R,求f(x)的单调增区间
（2）若x∈[0,π/2]时,f(x)的最大值为4,求a的值

Answer 1

f(x)=2cos²x+2√3sinxcosx＋a
=cos2x+1+√3sin2x＋a
=2×[(1/2)×cos2x+(√3/2)×sin2x]+a+1
=2sin(2x+π/6)＋(a+1)
（1）
2kπ－π/2≤2x+π/6≤2kπ＋π/2时,f(x)单调递增
解得,kπ－π/3≤x≤kπ＋π/6
2kπ＋π/2≤2x+π/6≤2kπ＋3π/2时,f(x)单调递减
解得,kπ＋π/6≤x≤kπ＋2π/3
所以,f(x)的单调增区间为[kπ－π/3,kπ＋π/6]
单调减区间为[kπ＋π/6,kπ＋2π/3]
（其中,k为整数）
（2）
0≤x≤π/2时
π/6≤2x+π/6≤7π/6
当 2x+π/6＝π/2,
即 x＝π/6时
f(x)有最大值＝2+(a+1)＝3+a
因为f(x)的最大值为4
即,a+3=4
解得,a=1
所以,a的值为1