如图,已知正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是BC中点,点F在AA1上,且A1F：FA=1：2,求：如图,已知正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是BC中点,点F在AA1上,且A1F：FA=1：2,求：（1）直线BB1与平面B1EF所成角的大小（2）平面B1EF与平

Question

如图,已知正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是BC中点,点F在AA1上,且A1F：FA=1：2,求：
如图,已知正方形ABCD-A1B1C1D1中,E是BC中点,点F在AA1上,且A1F：FA=1：2,求：
（1）直线BB1与平面B1EF所成角的大小
（2）平面B1EF与平面A1B1C1D1所成角的大小

Answer 1

郭敦顒回答：

应是在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC中点,点F在AA1上,且A1F：FA=1：2,以此作答——

不妨设A1F=1,AF=2,则

AB=BC=CD=DA=AA1=BB1=CC1=DD1=A1B1=B1C1=C1D1=D1A1=3,

BE=CE=1.5,

（1）求直线BB1与平面B1EF所成角的大小,

在平面B1EF中,B1E在平面BCC1B1上,

B1E=√（3²+1.5²）=√11.25=1.5√5=3.3541,

B1F在平面ABB1A1上, B1F=√（3²+1²）=√10,

连AE,AE= B1E=1.5√5,EF在平面AEF上,且AE⊥AF,

∴EF=√[（1.5√5）²+2²]=√15.25,

平面B1EF在矩形AFKE上,    

作BG⊥AF于G,则BG⊥平面AFKE,∴BG⊥平面B1EF,连GB1,则

∠BB1G为直线BB1与平面B1EF所成的角,

在Rt⊿ABF中,tan∠BAF=1.5/3=1/2,∴∠BAF=26.56505°,

∵∠BAG=∠BAF（同角）,∴∠BAG=26.56505°,

∴BG=AB•sin26.56505°=3×0.4472136=1.341641,

∵∠B1BG=90°,∴tan∠BB1=BG/BB1=1.341641/3 =0.447214,

∴∠BB1=24.09486°,

∴直线BB1与平面B1EF所成的角为24.09486°.

（2）求平面B1EF与平面A1B1C1D1所成角的大小,

取B1C1中点M,连A1M,A1M∥AE, A1M=AE==1.5√5=3.3541,

作B1N⊥A1M于N,则B1N∥BG,B1N=BG,

平面B1EF与平面A1B1C1D1所成角（二面角）的平面角为∠GB1N,

∠GB1N=90°－24.09486°=65.90514°,

平面B1EF与平面A1B1C1D1所成角（二面角）为65.90514°.

 

                           D1

                             

      A1

 

                       N

      F                                 C1

                     B1        M

                       

                               K

                          D

 

      A

                       G

                                        C

                               E

 B