在各项均为正数的数列{an}中，{Sn}为前n项和，nan+12=（n+1）an2+anan+1且a3=π，则tanS4=33．

Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，{S_n}为前n项和，na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1且a₃=π，则tanS₄=

√(3)

√(3)

．

Answer 1

∵na_n+1²=（n+1）a_n²+a_na_n+1
即[（n+1）a_n-na_n+1]（a_n+a_n+1）=0
∴（n+1）a_n-na_n+1=0  或a_n+a_n+1=0
又∵数列{a_n}各项均为正数
∴(an+1)/(an)=(n+1)/(n)
∴(a3)/(a2)=(3)/(2)，a₂=(2π)/(3)
同理求得a₄=(4π)/(3)，a₁=(π)/(3)
∴tanS₄=tan（ (π)/(3)+(2π)/(3)+π+(4π)/(3)）=tan (10π)/(3)=√(3)
故答案为√(3)．