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设n是正整数,试证方程x+y+2xy=n有正整数解的充要条件是2n+1是合数
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设n是正整数,试证方程x+y+2xy=n有正整数解的充要条件是2n+1是合数
▼优质解答
答案和解析
x+y+2xy=n
所以
2x+2y+4xy=2n
1+2x+2y+4xy=2n+1
即(2x+1)(2y+1)=2n+1
显然,如果x,y为正整数,2x+1和2y+1都是大于1的正整数,2n+1必为合数
反过来,如果2n+1不是合数,
那么,它只能分解成1*(2n+1)的形式,不管令其中谁等于1,则x,y中必有一个数为零.
故要有正整数解,2n+1必须为合数.
所以
2x+2y+4xy=2n
1+2x+2y+4xy=2n+1
即(2x+1)(2y+1)=2n+1
显然,如果x,y为正整数,2x+1和2y+1都是大于1的正整数,2n+1必为合数
反过来,如果2n+1不是合数,
那么,它只能分解成1*(2n+1)的形式,不管令其中谁等于1,则x,y中必有一个数为零.
故要有正整数解,2n+1必须为合数.
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