已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：（1）MN=DN-BM；（2）AH=AB．

Question

已知：如图，在正方形ABCD中，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足为H，求证：

（1）MN=DN-BM；
（2）AH=AB．

Answer 1

证明：（1）如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，
在正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，
在△ABM与△ADE中，

AD=AB

∠D=∠ABM

BM=DE

，
∴△ABM≌△ADE，
∴AM=AE，∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
在△AMN和△AEN中，

AM=AE

∠MAN=∠EAN

AN=AN

，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN；

（2）由（1）证得△AMN≌△AEN，
∴∠MAN=∠NAE，
∵AH⊥MN，AD⊥CD，
∴AH=AD，
∵AD=AB，
∴AH=AB．