正项等比数列{an}满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得aman=16a12，则1m+4n的最小值为（）A．256B．134C．73D．32

Question

正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，则(1)/(m)+(4)/(n)的最小值为（　　）

A．(25)/(6)
B．(13)/(4)
C．(7)/(3)
D．(3)/(2)

Answer 1

∵正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，
∴a1q2＝a1q+2a1，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，
∴(a1•2m−1)•(a1•2n−1)16a12，
∴a12•2m+n−2＝16a12，
所以，m+n=6，
∴(1)/(m)+(4)/(n)＝((1)/(m)+(4)/(n))[(1)/(6)(m+n)]=(1)/(6)(5+(n)/(m)+(4m)/(n))≥(1)/(6)(5+2√((n)/(m)•(4m)/(n)))＝(3)/(2)．
所以(1)/(m)+(4)/(n)的最小值为(3)/(2)．
故选：D..