对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若f(x)＝x2−1x，g(x)＝lnx，试判断在区间[[1，e

Question

对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若f(x)＝(x)/(2)−(1)/(x)，g(x)＝lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在((1)/(m)，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）设f(x)＝alnx−ax，g(x)＝−(1)/(2)x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．

Answer 1

（1）∵f(x)−g(x)＝(x)/(2)−(1)/(x)−lnx，
令h(x)＝(x)/(2)−(1)/(x)−lnx，
∵h′(x)＝(1)/(2)+(1)/(x2)−(1)/(x)＝(x2+2−2x)/(2x2)＞0，
∴h（x）在[1，e]上单调增，
∴h(x)∈[−(1)/(2)，(e)/(2)−(1)/(e)−1]．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）记k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得k/(x)＝(x−1)/(x)
当(1)/(m)＜x＜1时，k′（x）＜0，在区间((1)/(m)，1)上函数k（x）为减函数，
当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数
∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在((1)/(m)，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．
∴|alnx−ax+(1)/(2)x2−x|≤1．−1≤alnx−ax+(1)/(2)x2−x≤1，
由（2）知，当x∈[1，e]时，x-lnx＞0恒成立，
∴有a≤((1)/(2)x2−x+1)/(x−lnx)，
令F(x)＝((1)/(2)x2−x+1)/(x−lnx)，
∵F′(x)＝((x−1)(x−lnx)−(1−(1)/(x))((1)/(2)x2−x+1))/((x−lnx)2)=((x−1)((1)/(2)x+1−lnx−(1)/(x)))/((x−lnx)2)，
由（1）的结果可知(1)/(2)x+1−lnx−(1)/(x)＞0，
∴F'（x）恒大于零，
∴a≤(1)/(2)．
②a≥((1)/(2)x2−x−1)/(x−lnx)，
令G(x)＝((1)/(2)x2−x−1)/(x−lnx)，
∵G′(x)＝((x−1)(x−lnx)−(1−(1)/(x))((1)/(2)x2−x−1))/((x−lnx)2)=((x−1)((1)/(2)x+1−lnx+(1)/(x)))/((x−lnx)2)，
∵(1)/(2)x+1−lnx+(1)/(x)＞(1)/(2)x+1−lnx−(1)/(x)＞0，
∴G'（x）恒大于零，
∴a≥(e2−2e−2)/(2(e−1))，
即实数a的范围为(e2−2e−2)/(2(e−1))≤a≤(1)/(2)