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对于定义在区间D上的函数f(x)和g(x),如果对于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,那么称函数f(x)在区间D上可被函数g(x)替代.(1)若f(x)=x2−1x,g(x)=lnx,试判断在区间[[1,e
题目详情
对于定义在区间D上的函数f(x)和g(x),如果对于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,那么称函数f(x)在区间D上可被函数g(x)替代.
(1)若f(x)=
−
,g(x)=lnx,试判断在区间[[1,e]]上f(x)能否被g(x)替代?
(2)记f(x)=x,g(x)=lnx,证明f(x)在(
,m)(m>1)上不能被g(x)替代;
(3)设f(x)=alnx−ax,g(x)=−
x2+x,若f(x)在区间[1,e]上能被g(x)替代,求实数a的范围.
(1)若f(x)=
x |
2 |
1 |
x |
(2)记f(x)=x,g(x)=lnx,证明f(x)在(
1 |
m |
(3)设f(x)=alnx−ax,g(x)=−
1 |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)−g(x)=
−
−lnx,
令h(x)=
−
−lnx,
∵h′(x)=
+
−
=
>0,
∴h(x)在[1,e]上单调增,
∴h(x)∈[−
,
−
−1].
∴|f(x)-g(x)|≤1,即在区间[[1,e]]上f(x)能被g(x)替代.
(2)记k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得k/(x)=
当
<x<1时,k′(x)<0,在区间(
,1)上函数k(x)为减函数,
当1<x<m时,k′(x)>0,在区间(1,m)上函数k(x)为增函数
∴函数k(x)在区间的最小值为k(1)=1,最大值是k(m)>1,
所以不满足对于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,
故f(x)在(
,m)(m>1)上不能被g(x)替代;
(3)∵f(x)在区间[1,e]上能被g(x)替代,
即|f(x)-g(x)|≤1对于x∈[1,e]恒成立.
∴|alnx−ax+
x2−x|≤1.−1≤alnx−ax+
x2−x≤1,
由(2)知,当x∈[1,e]时,x-lnx>0恒成立,
∴有a≤
,
令F(x)=
,
∵F′(x)=
=
,
由(1)的结果可知
x+1−lnx−
>0,
∴F'(x)恒大于零,
∴a≤
.
②a≥
,
令G(x)=
,
∵G′(x)=
=
,
∵
x+1−lnx+
>
x+1−lnx−
>0,
∴G'(x)恒大于零,
∴a≥
,
即实数a的范围为
≤a≤
x |
2 |
1 |
x |
令h(x)=
x |
2 |
1 |
x |
∵h′(x)=
1 |
2 |
1 |
x2 |
1 |
x |
x2+2−2x |
2x2 |
∴h(x)在[1,e]上单调增,
∴h(x)∈[−
1 |
2 |
e |
2 |
1 |
e |
∴|f(x)-g(x)|≤1,即在区间[[1,e]]上f(x)能被g(x)替代.
(2)记k(x)=f(x)-g(x)=x-lnx,可得k/(x)=
x−1 |
x |
当
1 |
m |
1 |
m |
当1<x<m时,k′(x)>0,在区间(1,m)上函数k(x)为增函数
∴函数k(x)在区间的最小值为k(1)=1,最大值是k(m)>1,
所以不满足对于任意x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,
故f(x)在(
1 |
m |
(3)∵f(x)在区间[1,e]上能被g(x)替代,
即|f(x)-g(x)|≤1对于x∈[1,e]恒成立.
∴|alnx−ax+
1 |
2 |
1 |
2 |
由(2)知,当x∈[1,e]时,x-lnx>0恒成立,
∴有a≤
| ||
x−lnx |
令F(x)=
| ||
x−lnx |
∵F′(x)=
(x−1)(x−lnx)−(1−
| ||||
(x−lnx)2 |
(x−1)(
| ||||
(x−lnx)2 |
由(1)的结果可知
1 |
2 |
1 |
x |
∴F'(x)恒大于零,
∴a≤
1 |
2 |
②a≥
| ||
x−lnx |
令G(x)=
| ||
x−lnx |
∵G′(x)=
(x−1)(x−lnx)−(1−
| ||||
(x−lnx)2 |
(x−1)(
| ||||
(x−lnx)2 |
∵
1 |
2 |
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
x |
∴G'(x)恒大于零,
∴a≥
e2−2e−2 |
2(e−1) |
即实数a的范围为
e2−2e−2 |
2(e−1) |
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2 |
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