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在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求证:EF‖AB
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在△ABC中,AM是BC边上的中线,AE平分∠BAC,BD⊥AE的延长线于D,且交AM延长线于F.求证:EF‖AB
▼优质解答
答案和解析
证明:延长AM到G使MG=AM,连接GB、BC.延长BD交GC于H,延长AD交GC于K,过K作KR‖BG,交BD于R.
可得四边形ABGC是平行四边形.
AE是角平分线,所以∠RKD=∠HKD=∠BAE=∠CAE,又∠RDK=∠HDK=90°,DK=DK,所以,△KDR≌△KDH.所以∠DHK=∠DRK=∠HBG,
所以GB=GH.
因为AB‖GC,所以∠CKE=∠BAE=∠CAE,所以CK=AC=GB,
所以CK=GH.
因为AB‖GC,所以△ABE∽△KCE、△ABF∽△GHF.所以AB/CK=BE/EC、AB/GH=BF/FH.
因为CK=GH,.所以AB/CK= AB/GH.
所以BE/EC =BF/FH.
所以EF‖CH.
又CH‖AB,
所以AB‖EF.
可得四边形ABGC是平行四边形.
AE是角平分线,所以∠RKD=∠HKD=∠BAE=∠CAE,又∠RDK=∠HDK=90°,DK=DK,所以,△KDR≌△KDH.所以∠DHK=∠DRK=∠HBG,
所以GB=GH.
因为AB‖GC,所以∠CKE=∠BAE=∠CAE,所以CK=AC=GB,
所以CK=GH.
因为AB‖GC,所以△ABE∽△KCE、△ABF∽△GHF.所以AB/CK=BE/EC、AB/GH=BF/FH.
因为CK=GH,.所以AB/CK= AB/GH.
所以BE/EC =BF/FH.
所以EF‖CH.
又CH‖AB,
所以AB‖EF.
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