BC是圆O的直径,AD⊥BC于D,弧BA=弧AF,BF与AD交于E求证：(1)AE=BE(2)若点A和点F把半圆三等分,BC=12,求AE的长要快、、、、

Question

BC是圆O的直径,AD⊥BC于D,弧BA=弧AF,BF与AD交于E
求证：(1)AE=BE
(2)若点A和点F把半圆三等分,BC=12,求AE的长
要快、、、、

Answer 1

（1）连结AC
因为BC是圆O的直径,所以∠BAC=90°
又AD⊥BC,即∠BDA=90°
因为∠ABD是Rt△BDA与Rt△BAC的公共角
所以Rt△BDA ∽Rt△BAC （AA）
则∠BAD=∠BCA
又弧BA=弧AF,则∠ABF=∠BCA （同一圆中,等弧所对的圆周角相等）
所以∠BAD=∠ABF
所以AE=BE
（2）若点A和点F把半圆三等分,则：
∠BAD=∠BCA=30°,∠ABD=60°
因为BC=12,所以AB=BC/2=6,BD=AB/2=3
因为在Rt△BDE中,∠DBE=∠ABD-∠ABF=30°
则cos∠DBE=BD/BE=√3/2
所以BE=BD/(√3/2)=3/(√3/2)=2√3
则AE=BE=2√3