AB是圆O的直径,BC切圆O于点B,连接CO并延长交O于点D.E,连接AD并延长交BC于点F,∠CBD=∠CEB,若BC=2/3AB求tan∠CDF的值

Question

AB是圆O的直径,BC切圆O于点B,连接CO并延长交O于点D.E,连接AD并延长交BC于点F,∠CBD=∠CEB,若BC=2/3AB
求tan∠CDF的值

Answer 1

【1.先证明∠OBC=90°】

∵OB=OE

∴∠CEB=∠OBE

∵∠CBD=∠CEB

∴∠OBE=∠CBD

∵ED是⊙O的直径

∴∠OBE+∠OBD=∠DBE=90°

∴∠OBC=∠CBD+∠OBD=90°

【2.确定数量关系】

∵BC=2/3AB 

∴BC=4/3OB

设OB=3,则BC=4,OC=5

【3.确定角】

∵∠CDF=∠ODA=∠OAD

∴∠BOC=∠OAD+∠ODA=2∠CDF

【4.求值】

过O点作∠BOC的平分线交BC于G

则∠BOG=∠CDF

∵BG/CG=OB/OC=3/5

  BG +CG =BC =4

∴BG=3/8BC=3/2

∴tan∠BOG=BG/OB=(3/2)/3=1/2

即tan∠CDF=1/2