（2014•浙江模拟）定义函数f（x）=4-8|x-32|，1≤x≤212f(x2)，x＞2，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，2n]（n∈N*）内的所有零点的和为（）A．nB．2nC．34（2n-1）D．32（2n-1）

Question

（2014•浙江模拟）定义函数f（x）=

4-8|x-(3)/(2)|，1≤x≤2

(1)/(2)f((x)/(2))，x＞2

，则函数g（x）=xf（x）-6在区间[1，2ⁿ]（n∈N^*）内的所有零点的和为（　　）

A．n
B．2n
C．(3)/(4)（2ⁿ-1）
D．(3)/(2)（2ⁿ-1）

Answer 1

当1≤x≤(3)/(2)时，f（x）=8x-8，
所以g(x)=8(x-(1)/(2))2-8，此时当x=(3)/(2)时，g（x）_max=0；
当(3)/(2)＜x≤2时，f（x）=16-8x，所以g（x）=-8（x-1）²+2＜0；
由此可得1≤x≤2时，g（x）_max=0．
下面考虑2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）的最大值的情况．
当2^n-1≤x≤3•2^n-2时，由函数f（x）的定义知f(x)=(1)/(2)f((x)/(2))=…=(1)/(2n-1)f((x)/(2n-1))，
因为1≤(x)/(2n-1)≤(3)/(2)，
所以g(x)=(1)/(22n-5)(x-2n-2)2-8，
此时当x=3•2^n-2时，g（x）_max=0；
当3•2^n-2≤x≤2ⁿ时，同理可知，g(x)=-(1)/(22n-5)(x-2n-1)2+8＜0．
由此可得2^n-1≤x≤2ⁿ且n≥2时，g（x）_max=0．
综上可得：对于一切的n∈N^*，函数g（x）在区间[2^n-1，2ⁿ]上有1个零点，
从而g（x）在区间[1，2ⁿ]上有n个零点，且这些零点为xn=3•2n-2，因此，所有这些零点的和为(3)/(2)(2n-1)．
故选：D