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(2014•浙江模拟)定义函数f(x)=4-8|x-32|,1≤x≤212f(x2),x>2,则函数g(x)=xf(x)-6在区间[1,2n](n∈N*)内的所有零点的和为()A.nB.2nC.34(2n-1)D.32(2n-1)
题目详情
(2014•浙江模拟)定义函数f(x)=
,则函数g(x)=xf(x)-6在区间[1,2n](n∈N*)内的所有零点的和为( )
A.n
B.2n
C.
(2n-1)
D.
(2n-1)
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A.n
B.2n
C.
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D.
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▼优质解答
答案和解析
当1≤x≤
时,f(x)=8x-8,
所以g(x)=8(x-
)2-8,此时当x=
时,g(x)max=0;
当
<x≤2时,f(x)=16-8x,所以g(x)=-8(x-1)2+2<0;
由此可得1≤x≤2时,g(x)max=0.
下面考虑2n-1≤x≤2n且n≥2时,g(x)的最大值的情况.
当2n-1≤x≤3•2n-2时,由函数f(x)的定义知f(x)=
f(
)=…=
f(
),
因为1≤
≤
,
所以g(x)=
(x-2n-2)2-8,
此时当x=3•2n-2时,g(x)max=0;
当3•2n-2≤x≤2n时,同理可知,g(x)=-
(x-2n-1)2+8<0.
由此可得2n-1≤x≤2n且n≥2时,g(x)max=0.
综上可得:对于一切的n∈N*,函数g(x)在区间[2n-1,2n]上有1个零点,
从而g(x)在区间[1,2n]上有n个零点,且这些零点为xn=3•2n-2,因此,所有这些零点的和为
(2n-1).
故选:D
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所以g(x)=8(x-
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当
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由此可得1≤x≤2时,g(x)max=0.
下面考虑2n-1≤x≤2n且n≥2时,g(x)的最大值的情况.
当2n-1≤x≤3•2n-2时,由函数f(x)的定义知f(x)=
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x |
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x |
2n-1 |
因为1≤
x |
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所以g(x)=
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22n-5 |
此时当x=3•2n-2时,g(x)max=0;
当3•2n-2≤x≤2n时,同理可知,g(x)=-
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22n-5 |
由此可得2n-1≤x≤2n且n≥2时,g(x)max=0.
综上可得:对于一切的n∈N*,函数g(x)在区间[2n-1,2n]上有1个零点,
从而g(x)在区间[1,2n]上有n个零点,且这些零点为xn=3•2n-2,因此,所有这些零点的和为
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故选:D
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