已知抛物线y2=8x与直线y=x-2交于A,B两点,求过A,B两点且与准线相切的圆的方程.

Question

已知抛物线y2=8x与直线y=x-2交于A,B两点,求过A,B两点且与准线相切的圆的方程.

Answer 1

设圆P方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²,P(a,b)
抛物线y2=8x与直线y=x-2交于A,B两点,直线带入抛物线,得到关于x的二元一次方程
x²-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=12,x1·x2=4,
∴AB中点Q（6,4）（横坐标=(x1+x2)/2=6,带入直线方程得纵坐标=4）
由相交弦长公式：|AB|=√(1+1)·√[(x1+x2)²-4x1·x2]=√2·√128=16
圆与准线相切,准线为x=-2,则r=a-(-2)=a+2
∵直线AB与圆P相交,在RT△PBQ中,
勾股定理得, PB²=PQ²+BQ²（PB为半径,BQ为弦AB的一半,是8,PQ用两点距离公式）
∴(a+2)²=[(a-6)²+(b-4)²]+8²
又∵PQ⊥AB,直线PQ斜率：(b-4)/(a-6)=-1,∴b=10-a,带入上式化简得：
a²-28a+132=0,∴a=6或22
a=6时,b=4,r=8
∴圆方程为：(x-6)²+(y-4)²=8²
a=22时,b=-12,r=24
∴圆方程为：(x-22)²+(y+12)²=24²