如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三

Question

如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．
（1）请判断：AF与BE的数量关系是___，位置关系是___；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．

Answer 1

（1）AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE．
答案是：相等，互相垂直；
（2）结论仍然成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，

AE=DF

AD=CD

DE=CF

，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=DA

∠BAE=∠ADF

AE=DF

，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF；
（3）第（1）问中的结论都能成立．
理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，
∴在△ADE和△DCF中，

AE=DF

AD=CD

DE=CF

，
∴△ADE≌△DCF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∴在△ABE和△ADF中，

AB=DA

∠BAE=∠ADF

AE=DF

，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°，
∴BE⊥AF．