已知一圆圆心过X-Y-4=0,且圆过x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交点,求圆方程

Question

已知一圆圆心过X-Y-4=0,且圆过x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交点,求圆方程

Answer 1

由x^2＋y^2－4x－2＝0,得：（x^2－4x＋4）＋y^2＝6,∴（x－2）^2＋y^2＝6.
∴该圆的圆心坐标为E（2,0）、半径为√6.
由x^2＋y^2－4y－3＝0,得：x^2＋（y^2－4y＋4）＝7,∴x^2＋（y－2）^2＝7.
∴该圆的圆心坐标为F（0,2）、半径为√7.
容易检验出：F（2,0）、B（0,2）都不在直线x－y－4＝0上.
∵所求圆的圆心在直线x－y－4＝0上,即在y＝x－4上.
令所求圆的圆心为C..
设两定圆的公共弦为AB,则有：AC＝BC,∴C在AB的中垂线上,∴C在两定圆的连心线上.
由两定圆的圆心坐标E（2,0）、F（0,2）,得：
两定圆连心线斜率＝（2－0）/（0－1）＝－1.
∴由直线的截斜式,得：两定圆的连心线方程为：y＝－x＋2.
联立：y＝－x＋2、y＝x－4,容易得出：x＝3、y＝－1.
∴⊙C的圆心坐标为（3,－1）.
令AB与EF的交点为D,由勾股定理,有：
ED＝√（AE^2－AD^2）＝√（6－AD^2）、FD＝√（AF^2－AD^2）＝√（7－AD^2）.
显然,EF＝ED＋FD＝√（6－AD^2）＋√（7－AD^2）.
而由两点间距离公式,有：EF＝√［（2－0）^2＋（0－2）^2］＝2√2.
∴√（6－AD^2）＋√（7－AD^2）＝2√2,∴√（7－AD^2）＝2√2－√（6－AD^2）,
∴7－AD^2＝8－4√2×√（6－AD^2）＋6－AD^2,∴4√2×√（6－AD^2）＝7,
∴32（6－AD^2）＝49,∴32AD^2＝192－49＝143,∴AD^2＝143/32.
∴FD＝√（7－AD^2）＝√（7－143/32）＝√（81/32）＝9/（4√2）＝9√2/8.
再由两点间距离公式,有：CF＝√［（3－2）^2＋（0－1）^2］＝√2.
∴CD＝CF＋FD＝√2＋9√2/8＝17√2/8,∴CD^2＝289×2/64＝289/32.
再由勾股定理,有：AC^2＝AD^2＋CD^2＝143/32＋289/32＝432/32＝27/2.
很明显,AC就是所求圆的半径.
∴满足条件的的圆的方程是（x－3）^2＋（y＋1）^2＝27/2.