求一微分方程使其通解为y=(c1x+c2)/(x+c3)

Question

求一微分方程使其通解为y=(c1x+c2)/(x+c3)

Answer 1

看到三个常数,说明原微分方程是三阶的,因此我们对y求三阶导数：
y' = (C1C3 - C2)/(x+C3)^2；
y'' = -2(C1C3 - C2)/(x+C3)^3；
y''' = 6(C1C3) - C2)/(x+C3)^3,
由于微分方程必须对任意C都满足,所以目的就是通过以上三个方程消去所有常数项即可.观察到
y'' / y' = -2 / (x+C3),
y''' / y'' = -3 / (x+C3),两个式子再比一次,就有
(y'')^2 / (y''' y') = 2/3,于是微分方程为：
3(y'')^2 = 2y'y'''.