已知函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.（1）求a的值（2）记g(x)=bx^2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围.

Question

已知函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减.
（1）求a的值
（2）记g(x)=bx^2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素,求b的取值范围.

Answer 1

第一问：
根据已知条件可知x=1是函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1的拐点,也就是说函数f(x)的导数在x=1处值为零
即f(x)'=4x^3-12x^2+2ax=0
将x=1代入可得a=4
第二问：
根据f(x)=g(x)
写出x^4-4x^3+4x^2-1=bx^2-1
化简得x^4-4x^3+(4-b)x^2=0
提取x^2得x^2[x^2-4x+(4-b)] =0
x=0必然是一个解
那么其他的两个解应该由x^2-4x+(4-b)=0确定
问题转换为使x^2-4x+(4-b)=0有两个解时,b的取值范围
后面的问题就简单了吧
一元二次方程有双解的条件
(-4)*(-4)-4*1*(4-b)>0
解得b<0