一圆锥形蓄水池高H=10m,底半径R=4m,以5m^3/min速率注入水,当水深为5m时,水面上升速率为?

Question

一圆锥形蓄水池高H=10m,底半径R=4m,以5m^3/min速率注入水,当水深为5m时,水面上升速率为?

Answer 1

设注入水t(min)后,水深为h(m),
由相似三角形对应边成比例,可得
水面半径为2/5h(m),
这时水的体积为V=1/3π(2/5h)^2 *h=4π/75h^3
由于水面高度h随着时间t而变化,
因而h是t的函数h=h(t)
因此可得水的体积关于时间的导数
V't=V'h *h't=(4π/75h^3)' *h't=4π/25h^2 *h't
由假设,注水速度为5m^3/min,
5t= 4π/75h^3
所以5=4π/25h^2 *h't
所以当h=5m时,h't=5/4π (m/min)
故水深为5m时,水面上升的速度是5/4π (m/min)