求解一道椭圆题中心在原点O的椭圆的左焦点为F(-1,0),上顶点位（0,根3）,P1,P2,P3为椭圆上任意三个不同的点,且角P1FP2=角P2FP=角P3FP1,则1/|FP1|+1/|FP2|+1/|FP3|=除了把点位置特殊化外,还有更好的方法吗

Question

求解一道椭圆题
中心在原点O的椭圆的左焦点为F(-1,0),上顶点位（0,根3）,P1,P2,P3为椭圆上任意三个不同的点,且角P1FP2=角P2FP=角P3FP1,则1/|FP1|+1/|FP2|+1/|FP3|=
除了把点位置特殊化外,还有更好的方法吗
改为：角P1FP2=角P2FP1=角P3FP1

Answer 1

以左焦点为原点建立极坐标系
椭圆方程：r=ep/(1-e*cosa) r是椭圆上点P到原点F的距离 a是FP与x轴正向夹角 e是离心率c/a p是焦准距b^2 /c
所求的和=1/r1 +1/r2 +1/r3 =(3-e*cos(a1)-e*cos(a2)-e*cos(a3))/ep
带入数据 ep=b^2 /a=3/2 e=c/a=1/2
和=(6-cos(a1)-cos(a2)-cos(a3))/3 有条件a1,a2,a3之间都相差120度 不妨a2=a1+120,a3=a1-120 带入 两角和公式 展开
=(6-0)/3=2
答案对么.