如图1，含30°角的直角三角板DEF（∠EDF=30°）与含45°角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为BC的中点，将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转∠α（0°

Question

如图1，含30°角的直角三角板DEF（∠EDF=30°）与含45°角的直角三角板的斜边在同一直线上，D为BC的中点，将直角三角板DEF绕点D按逆时针方向旋转∠α（0°（1）如图2，当∠α=___°时，DE∥AB；当∠α=___°时，DE⊥AB；
（2）如图3，当直角三角板DEF的边DF、DE分别交BA、CA的延长线于点M、N时：
①∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数的和；若变化，请说明理由；
②若使得∠1=2∠2，求出∠1、∠2的度数，并直接写出此时∠α的度数；
③若使得∠1≥(2)/(3)∠2，求∠α的度数范围．



(2)/(3)∠2，求∠α的度数范围．(2)/(3)232233

Answer 1

（1）∵∠B=45°，
∴当∠EDC=∠B=45°时，DE∥AB，
而∠EDF=30°，
∴30°+α=45°，解得α=15°；
当DE∥AC时，DE⊥AB，
此时∠C+∠EDC=180°，
∴30°+α+45°=180°，解得α=105°；
故答案为15°，105°；
（2）①∠1与∠2度数的和不变．
连结MN，如图3，
在△AMN中，∵∠ANM+∠AMN+∠MAN=180°，
∴∠ANM+∠AMN=90°，
在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，
即∠2+∠ANM+∠AMN+∠1+∠MDN=180°，
∴∠1+∠2=180°-90°-30°=60°；
②根据题意得

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

，解得

∠1=40°

∠2=20°

；
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=40°+90°，
∴α=85°；
③∵∠1≥(2)/(3)∠2，∠1+∠2=60°，
∴∠1≥(2)/(3)（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度数范围为69°≤α<90°．

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

∠1+∠2=60°

∠1=2∠2

∠1+∠2=60°∠1=2∠2∠1+∠2=60°∠1+∠2=60°∠1+∠2=60°∠1=2∠2∠1=2∠2∠1=2∠2，解得

∠1=40°

∠2=20°

；
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=40°+90°，
∴α=85°；
③∵∠1≥(2)/(3)∠2，∠1+∠2=60°，
∴∠1≥(2)/(3)（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度数范围为69°≤α<90°．

∠1=40°

∠2=20°

∠1=40°

∠2=20°

∠1=40°

∠2=20°

∠1=40°

∠2=20°

∠1=40°

∠2=20°

∠1=40°∠2=20°∠1=40°∠1=40°∠1=40°∠2=20°∠2=20°∠2=20°；
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=40°+90°，
∴α=85°；
③∵∠1≥(2)/(3)∠2，∠1+∠2=60°，
∴∠1≥(2)/(3)（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度数范围为69°≤α<90°． (2)/(3)23222333∠2，∠1+∠2=60°，
∴∠1≥(2)/(3)（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度数范围为69°≤α<90°． (2)/(3)23222333（60°-∠1），
∴∠1≥24°，
∵∠C+∠MDC=∠1+∠MAC，
即45°+α=∠1+90°，
∴∠1=α-45°，
∴α-45°≥24°，解得α≥69°，
∴∠α的度数范围为69°≤α<90°．