等差数列｛An｝中,Sn＝324,S6＝36,Sn-6＝144（n>6）,则n为多少?

Question

等差数列｛An｝中,Sn＝324,S6＝36,Sn-6＝144（n>6）,则n为多少?

Answer 1

n=18
解一：
由 S6=(a1+a6)*6/2=36,得a1+a6=12,记为1式
由 Sn-S(n-6)=[a(n-5)+an]*6/2=324-144=180,得a(n-5)+an=60,记为2式
又因为{an}是等差数列,所以a6+a(n-5)=a1+an,记为3式
将1、2两式相加,结合3式,可得a1+an=(12+60)/2=36
又 Sn=(a1+an)*n/2=324,故n=324*2/36=18
解二：
由已知条件得 S6:S(n-6):Sn=36:144:324=1:4:9
即 S6:[S(n-6)-S6]:[Sn-S(n-6)]=1:3:5
故可知6,n-6,n三项也成等差数列
（从几何上,可作出Sn关于n的函数图像,将离散点近似成连续直线,然后由相似形可显然得此比例关系；从代数上亦可予以验证,在此不作赘述）
于是立即可得 n=18
综述：
若作为简答题,取解一可以清晰明了地解出答案；
若作为填空或选择题,则解二中的直观经验可以立即给出答案,考试中可省下宝贵的答题时间,但前提是在数列的学习中积累了此经验,具备数形结合的能力.