设以多项式P(x)满足方程xP''(x)+(1-x)P'(x)+3P(x)=0且P(0)=1,求此多项式

Question

设以多项式P(x)满足方程xP''(x)+(1-x)P'(x)+3 P(x)=0且P(0)=1,求此多项式

Answer 1

设P为n阶多项式,则最高阶项可以设为k*x^n.
影响等式左边最高阶的项是 -x*(DP/Dx) 和 3P,其他项,也就是x*(D2P/Dx2)和1*(DP/Dx),二者不影响最高阶.
等式左边最高阶是 -x * kn * x^(n-1) + 3 * k * x^n
= -kn * x^n + 3k * x^n
等式对于任意x成立,则要求任意阶系数为0,最高阶当然系数也是0,也就是-kn + 3k = 0,所以n=3
因此,P是3阶多项式,设P为ax^3 + bx^2 + cx + d
x * (6ax + 2b) + (1 - x) * (3ax^2 + 2bx + c) + 3 * (ax^3 + bx^2 + cx +d) = 0
=> (6a + 3a - 2b + b)x^2 + (2b + 2b - c + 3c)x + (c + 3d) = 0
上式对任意x成立,所以：
9a - 3b = 0
4b + 2c = 0
c + 3d = 0
因为P(0)=1,所以d=1,所以c=-3,b=1.5,a=4.5
因此P为4.5x^3 - 3x^2 + 1.5x + 1