如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点E是线段AB的中点，把三角形AED沿DE折起，设折起后点A的位置为P，F是PD的中点．（1）求证：无论P在什么位置，都有AF∥平面PEC；（2）当点P在平面ABCD

Question

如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB=2，点E是线段AB的中点，把三角形AED沿DE折起，设折起后点A的位置为 P，F是PD的中点．
（1）求证：无论P在什么位置，都有 AF∥平面 PEC；（2）当点P在平面ABCD上的射影落在线段DE上时，若三棱锥P-ECD的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积．

Answer 1

（1）证明：设CD的中点是G，连接AG、FG，
∵CG∥AE，CG=AE，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG∥EC，
∵AG⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，
∴AG∥平面PEC，
又∵FG∥PC，FG⊄平面PEC，PC⊂平面PEC，
∴FG∥平面PEC，
∵FG⊂平面AGF，AG⊂平面AGF，FG∩AG=G，
∴平面AGF∥平面PEC，而AF⊂平面AGF，
∴AF∥平面PEC；

（2） 如图（1）所示，
∵PD=PE=1，若点P的射影为O，
∵点P的射影在线段DE上，
∴O是线段DE的中点，且PO⊥平面EBCO，
∵△PDE是等腰直角三角形，PD=PE=1，
∴OP=(√(2))/(2)，
由△ECD是等腰直角三角形，∠DEC=90°，
∴三棱锥P-ECD的外接球是如图（2）所示的长方体的外接球，
∴外接球的半径R=(1)/(2)√(√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2)=(3√(2))/(4)，
∴V=(4)/(3)πR³=(9√(2)π)/(8)．
(√(2))/(2)√(2)2√(2)√(2)√(2)

2

2

22222，
由△ECD是等腰直角三角形，∠DEC=90°，
∴三棱锥P-ECD的外接球是如图（2）所示的长方体的外接球，
∴外接球的半径R=(1)/(2)√(√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2)=(3√(2))/(4)，
∴V=(4)/(3)πR³=(9√(2)π)/(8)．
(1)/(2)12111222√(√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2)=(3√(2))/(4)，
∴V=(4)/(3)πR³=(9√(2)π)/(8)．
√(√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2)

√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2

√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2

√(2)2+√(2)2+((√(2))/(2))2√(2)

2

2

222+√(2)2+((√(2))/(2))22+√(2)

2

2

222+((√(2))/(2))22+((√(2))/(2)√(2)2√(2)√(2)√(2)

2

2

22222)22=(3√(2))/(4)，
∴V=(4)/(3)πR³=(9√(2)π)/(8)．
(3√(2))/(4)3√(2)43√(2)3√(2)3√(2)

2

2

22444，
∴V=(4)/(3)πR³=(9√(2)π)/(8)．
(4)/(3)43444333πR³3=(9√(2)π)/(8)．
(9√(2)π)/(8)9√(2)π89√(2)π9√(2)π9√(2)

2

2

22π888．