函数f（x）=x3-x(x2+1)2的值域是．

Question

函数f（x）=(x3-x)/((x2+1)2)的值域是 ___ ．

Answer 1

∵f（x）=(x3-x)/((x2+1)2)，
∴f′（x）=((3x2-1)(x2+1)2-(x3-x)•2•(x2+1)•2x)/((x2+1)4)，
令f′（x）=0，得（3x²-1）（x²+1）²-（x³-x）•2•（x²+1）•2x=0，
∴（3x²-1）（x²+1）-4x²（x²-1）=0，
整理，得x⁴-6x²+1=0，
解得x₁=1+√(2)，x₂=√(2)-1，x₃=-1-√(2)，x₄=1-√(2)，
∴f（x₁）=(1)/(4)，f（x₂）=-(1)/(4)，f（x₃）=-(1)/(4)，f（x₄）=(1)/(4)，
∴函数f（x）=(x3-x)/((x2+1)2)的值域是[-(1)/(4)，(1)/(4)]．
故答案为：[-(1)/(4)，(1)/(4)]．