已知函数f(x)=11-x，对于n∈N+，定义f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，偶函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，g（x）=|f2009（x）|．（1）求g（x）；（2）若存在实数a，b（a＜b）使得该函

Question

已知函数f(x)=(1)/(1-x)，对于n∈N₊，定义f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，偶函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，g（x）=|f₂₀₀₉（x）|．
（1）求g（x）；
（2）若存在实数a，b（a＜b）使得该函数在[a，b]上的最大值为ma，最小值为mb，求非零实数m的取值范围．

Answer 1

（1）因为f1(x)=f(x)=(1)/(1-x)，f2(x)=f(f1(x))=(1)/(1-(1)/(1-x))=(x-1)/(x)，f3(x)=f[f2(x)]=(1)/(1-(x-1)/(x))=x
f4(x)=f[f3(x)]=(1)/(1-x)，
∴迭代函数以3为周期，
f2009(x)=f2(x)=(x-1)/(x)．…（5分）
设x＜0，则-x＞0，g(x)=g(-x)=|(-x-1)/(-x)|=|1+(1)/(x)|，
所以g(x)=

|1+(1)/(x)|，x＜0

|1-(1)/(x)|，x＞0

…（9分）
如图：
（2）∵a＜b，ma＞mb＞0
∴m＜0，a＜b＜0；…（12分）
∵mb≠0，
∴-1∉[a，b]（否则m=0，mb=ma=0，矛盾），
当a＜b＜-1，则f(x)=1+(1)/(x)在(-∞，-1]上是减函数，由题意

1+(1)/(a)=ma

1+(1)/(b)=mb

，
所以a，b是方程1+(1)/(x)=mx的两不同实根，⇒x2-(1)/(m)x-(1)/(m)=0在(-∞，-1)有两个不同实根，

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