设f(x)是以T为周期的奇连续函数,证明:∫[a→x]f(t)dt是以T为周期的周期函数.

Question

设f(x)是以T为周期的奇连续函数,证明:∫[a→x]f(t)dt是以T为周期的周期函数.

Answer 1

因为f(x)是以T为周期的奇连续函数,所以f(x)＝f(x+T)＝f(x-T):,设g(x)=∫[a→x]f(t)dt,g(x+T)=∫[a→x+T]f(t)dt,设t＝u+T所以g(x+T)＝S[a-T,x]f(u)du＝S[a-T,a]f(u)du+S[a,x]f(u)du,因为f(x)是以T为周期的周期函数,所以S[a-T,a]f(u)du＝0,所以g(x+T)＝S[a,x]f(u)du＝g(x),所以 ∫[a→x]f(t)dt是以T为周期的周期函数.