数学勾股定理的证明方法,至少七种.最好是比较常见的,不是也没关系.一定要带图,证明清楚.

Question

数学勾股定理的证明方法,至少七种.
最好是比较常见的,不是也没关系.一定要带图,证明清楚.

Answer 1

证法1
　　作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过点C作AC的延长线交DF于点P.
　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠EGF = ∠BED,
　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
　　又∵ AB = BE = EG = GA = c,
　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
　　∴ ∠ABC = ∠EBD.
　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
　　即 ∠CBD= 90°
　　又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
　　BC = BD = a.
　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
　　同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
　　设多边形GHCBE的面积为S,则
　　A2+B2=C2

证法2
　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
　　过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
　　过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
　　F作FN⊥PQ,垂足为N.
　　∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,
　　∴ ∠MPC = 90°,
　　∵ BM⊥PQ,
　　∴ ∠BMP = 90°,
　　∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,
　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
　　∴ ∠QBM = ∠ABC,
　　又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2
证法3
　　作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
　　分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
　　∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
　　∴FI=a,
　　∴G,I,J在同一直线上,
　　∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
　　∠CJB = ∠CFD = 90°,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
　　同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
　　∴∠ABG = ∠BCJ,
　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
　　∵∠ABC= 90°,
　　∴G,B,I,J在同一直线上,
　　A2+B2=C2.
证法4
　　作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
　　BF、CD. 过C作CL⊥DE,
　　交AB于点M,交DE于点L.
　　∵ AF = AC,AB = AD,
　　∠FAB = ∠GAD,
　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
　　∵ ΔFAB的面积等于,
　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM
　　的面积的一半,
　　∴ 矩形ADLM的面积 =.
　　同理可证,矩形MLEB的面积 =.
　　∵ 正方形ADEB的面积
　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
　　∴ 即A2+B2=C2
证法5（欧几里得的证法）
　　《几何原本》中的证明
　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
　　在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
　　其证明如下：
　　设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；.把这两个结果相加, AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC.由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB2;+ AC2;= BC2；.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）
　　如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高
　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：
　　（1）（BD）2;=AD•DC,
　　（2）（AB）2;=AD•AC ,
　　（3）（BC）2;=CD•AC.　
　　由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD•AC+CD•AC =（AD+CD）•AC=（AC）2；,
　　图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2,这就是勾股定理的结论.

图1
证法七（赵爽弦图）
　　在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为（b-a）2.于是便可得如下的式子：
　　4×（ab/2）+（b-a）2 =c2；　
　　化简后便可得：a2 +b2 =c2;
　　亦即：c=(a2 +b2 )1/2
望采纳