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证明arcsinhx的导数是1/(1+x^2)^(1/2),求教,注意是arcsinh,
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证明arcsinhx的导数是1/(1+x^2)^(1/2),求教,注意是arcsinh,
▼优质解答
答案和解析
根据反函数导数公式,f'(x)=1/φ'(y),
设 x=sinhy,y=arcsinhx,在对应区间（-∞,+∞）内有导数,
（arcsinhx)'=1/(sinhy)'=1/{[e^y-e^(-y)]/2}'
=1/{[e^y-e^(-y)]'/2}
=1/{{e^y+e^(-y)]/2|=1/coshy,
coshy=√[sinhy)^2+1]=√（x^2+1),
∴（arcsinhx)'=1/√(x^2+1).
设 x=sinhy,y=arcsinhx,在对应区间（-∞,+∞）内有导数,
（arcsinhx)'=1/(sinhy)'=1/{[e^y-e^(-y)]/2}'
=1/{[e^y-e^(-y)]'/2}
=1/{{e^y+e^(-y)]/2|=1/coshy,
coshy=√[sinhy)^2+1]=√（x^2+1),
∴（arcsinhx)'=1/√(x^2+1).
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