设f（x）在（-1，1）内有二阶导数，f（0）=f′（0）=0，|f″（x）|2≤|f（x）•f′（x）|，证明：存在δ＞0，使得在（-δ，δ）内f（x）≡0．

Question

设f（x）在（-1，1）内有二阶导数，f（0）=f′（0）=0，|f″（x）|²≤|f（x）•f′（x）|，证明：存在δ＞0，使得在（-δ，δ）内f（x）≡0．

Answer 1

对任意0＜a＜1，当x∈[-a，a]时，有：
|f′（x）|=|f′（x）-f′（0）|=|f″（ξ）x|
≤|f″(ξ)|≤|f(ξ)f′(ξ)|(1)/(2)≤(

max

x∈[-a，a]

|f(x)|)(1)/(2)(

max

x∈[-a，a]

|f′(x)|)(1)/(2)，
从而有：

max

x∈[-a，a]

|f′(x)|≤(

max

x∈[-a，a]

|f(x)|)(1)/(2)(

max

x∈[-a，a]

|f′(x)|)(1)/(2)，
所以有：

max

x∈[-a，a]

|f′(x)|≤

max

x∈[-a，a]

|f(x)|．
又因为|f（x）|=|f（x）-f（0）|=|f′（ξ₁）x|≤|f′（ξ₁）|a≤

max

x∈[-a，a]

|f′(x)|a≤a

max

x∈[-a，a]

|f(x)|，
于是有，

max

x∈[-a，a]

|f(x)|≤a

max

x∈[-a，a]

|f(x)|，
故必有

max

x∈[-a，a]

|f(x)|=0，
即：f（x）=0，x∈[-a，a]，
由0＜a＜1的任意性可得：f（x）=0，x∈（-1，1）．