△ABC为正△PA⊥平面ABCA在平面PBC内摄影为H求证H不可能是△PBC的垂心

Question

△ABC为正△
PA⊥平面ABC
A在平面PBC内摄影为H
求证 H不可能是△PBC的垂心

Answer 1

（自己画图对照我的证明看吧）反证：假定H是△PBC的垂心,那么CH⊥PB,又因为A在平面PBC内摄影为H ,所以AH⊥PB,所以PB⊥平面HAC,所以PB⊥AC,又因为PA⊥平面ABC ,所以PA⊥AC,于是AC⊥平面PAB,于是CA⊥AB,这是不可能的,因为角CAB＝60度.
评论：本题中条件“△ABC为正△”有点多余,换成“角CAB不是直角”就可以.