（2014•山东）设函数f（x）=alnx+x−1x+1，其中a为常数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Question

（2014•山东）设函数f（x）=alnx+(x−1)/(x+1)，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

f′(x)＝(a)/(x)+(2)/((x+1)2)，
（Ⅰ）当a=0时，f′(x)＝(2)/((x+1)2)，f′（1）=(1)/(2)，f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=(1)/(2)（x-1）．
（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则(a)/(x)+(2)/((x+1)2)＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，则(a)/(x)+(2)/((x+1)2)＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△＝8a+4＝8(a+(1)/(2))，对称轴方程x＝−(a+1)/(a)．
①当a≤-(1)/(2)时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②当-(1)/(2)＜a＜0时，此时，对称轴方程x＝−(a+1)/(a)＞0，
∴g（x）=0的两根均大于零，计算得
当(−(a+1)+√(2a+1))/(a)＜x＜(−(a+1)−√(2a+1))/(a)时，g（x）＞0；
当0＜x＜(−(a+1)+√(2a+1))/(a)或x＞

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